Question

【题目】的内角的对边分别为，且．

（1）证明： 成等比数列；

（2）若角的平分线交于点，且，求．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用两角和的余弦函数公式化简已知等式可得sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：b2=ac，即可得证．（2）由已知可得：AD+CD=6，由三角形面积公式可得AD=2CD，从而可求AD=4，CD=2，由（1）可得：b2=36，利用角平分线的性质可得AB=2BC，即c=2a，从而可求a，c的值，进而利用余弦定理可求cosA，即可由余弦定理求得BD的值．

试题解析：.解法一:

（1）因为，

所以 ，

化简可得，

由正弦定理得， ，故成等比数列.

（2）由题意，得，

又因为是角平分线，所以，即，

化简得， ，即.

由（1）知， ，解得，

再由得， （为中边上的高），

即，又因为，所以.

【注】利用角平分线定理得到同样得分，

在中由余弦定理可得， ，

在中由余弦定理可得， ，

即，求得.

解法二：（1）同解法一.

（2）同解法一， .

在中由余弦定理可得， ，

在中由余弦定理可得， ，

即，求得.

解法三：

（1）同解法一.

（2）同解法二， .

在中由余弦定理可得， ，

由于，从而可得，

在中由余弦定理可得， ，求得，

在中由正弦定理可得， ，即.

【注】若求得的值后，在中应用正弦定理求得的，请类比得分.

解法四：

（1）同解法一.

（2）同解法一， .

在中由余弦定理得， ，

在中由余弦定理得， ，

因为，所以有，

故，

整理得， ，即.