Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和S_n满足关系式tS_n-（t+1）S_n-1=t（t＞0，n∈N^*，n≥2）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等比数列；
（Ⅱ）设数列{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，bn=f(

1

bn-1

)（n∈N^*，n≥2），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）数列{b_n}满足条件（Ⅱ），求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用a_n=S_n-tS_n-1，求得数列{a_n}的递推式，整理得

an

an-1

=

t+1

t

，进而可推断出n≥3时，数列成等比数列，然后分别求得a₁和a₂，验证亦符合，进而可推断出{a_n}是一个首项为1，公比为

t+1

t

的等比数列．
（Ⅱ）把f（t）的解析式代入b_n，进而可知b_n=1+b_n-1，判断出{b_n}是一个首项为1，公差为1的等差数列．进而根据等差数列的通项公式求得答案．
（Ⅲ）{b_n}是等差数列．进而可推断出{b_2n-1}和{b_2n}也是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，进而用分组法求得数列的b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1和．

解答：解：（Ⅰ）∵tS_n-（t+1）S_n-1=t，（n≥2）①tS_n-1-（t+1）S_n-2=t，（n≥3）②
①-②，得ta_n-（t+1）a_n-1=0．
∴

an

an-1

=

t+1

t

（n∈N^*，n≥3）．
又由t（1+a₂）-（t+1）=t．得a2=

t+1

t

．
又∵a₁=1，∴

a2

a1

=

t+1

t

．
所以{a_n}是一个首项为1，公比为

t+1

t

的等比数列．
（Ⅱ）由f（t）=

t+1

t

，得bn=f(

1

bn-1

)=1+b_n-1（n≥2，n∈N^*）．
∴{b_n}是一个首项为1，公差为1的等差数列．
于是b_n=n．
（Ⅲ）由b_n=n，可知{b_2n-1}和{b_2n}是首项分别为1和2，公差均为2的等差数列，
于是b_2n=2n．
∴b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1?
=b₂（b₁-b₃）+b₄（b₃-b₅）+…+b_2n（b_2n-1-b_2n+1）=-2（b₂+b₄+…+b_2n）
=-2•

(2+2n)n

2

=-2n2-2n．

点评：本题主要考查了等比关系的确定．考查了学生综合分析问题的能力．