Question

设函数f(x)=-lnx+ln(x+1).

(1)求f(x)的单调区间和极值.

(2)是否存在实数a,使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞)?若存在,求a的取值范围;若不存在,试说明理由.

Answer 1

本题主要考查函数的导数、单调性、极值,不等式等基础知识,考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力.

解:(1)f′(x)=.                          

故当x∈(0,1)时,f′(x)＞0,

x∈(1,+∞)时,f′(x)＜0.

所以f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减.                                 

由此知f(x)在(0,+∞)上的极大值为f(1)=ln2,没有极小值.                             

(2)①当a≤0时,

由于f(x)=

=＞0,

故关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞).                                      

②当a＞0时,由f(x)=+ln(1+)知f(2ⁿ)=+ln(1+),其中n为正整数,且有ln(1+)＜n＞-log₂( -1).                                           

又n≥2时,=＜=,

且＜n＞+1.

取整数n₀满足n₀＞-log₂(-1),n₀＞+1,且n₀≥2,

则f()=+ln(1+)＜+=a,

即当a＞0时,关于x的不等式f(x)≥a的解集不是(0,+∞).

综合①②知,存在a,使得关于x的不等式f(x)≥a的解集为(0,+∞),且a的取值范围为(-∞,0］.