Question

设函数f(x)=

3

2

-

3

sin2ωx-sinωxcosωx(ω＞0)，且y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

π

4

（l）求ω的值；
（2）将函数y=f（x）图象向左平移

π

3

个单位，得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的三角函数公式与辅助角公式对函数进行化简，得f（x）=-sin（2ωx-

π

3

）．由题意得函数的周期为T=4×

π

4

=π，利用三角函数的周期公式加以计算，可得ω的值；
（2）根据函数图象平移的公式，得到g（x）=f（x+

π

3

）=-sin（2x+

π

3

），再由x∈[0，

π

2

]利用正弦函数的图象与性质，可得g（x）在区间[0，

π

2

]上的最大值和最小值．

解答：解：（1）函数f（x）=

3

2

-

3

sin²ωx-sinωxcosωx
=

3

2

-

3

•

1-cos2ω

2

-

1

2

sin2ωx=

3

2

cos2ω-

1

2

sin2ωx=-sin（2ωx-

π

3

）．
∵y=f（x）的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为

π

4

，
∴函数的周期T=4×

π

4

=π，根据ω＞0，得

2π

2ω

=π，解得ω=1；
（2）由（1）得f（x）=-sin（2x-

π

3

），
∴y=f（x）图象向左平移

π

3

个单位，得到y=f（x+

π

3

）=-sin[2（x+

π

3

）-

π

3

]=-sin（2x+

π

3

）．
由此可得g（x）=-sin（2x+

π

3

），
∵x∈[0，

π

2

]，可得2x+

π

3

∈[

π

3

，

4π

3

]，
∴当2x+

π

3

=

π

2

即x=

π

12

时，sin（2x+

π

3

）的最大值为1；
当2x+

π

3

=

4π

3

即x=

π

2

时，sin（2x+

π

3

）的最小值为-

3

2

．
因此g（x）=-sin（2x+

π

3

）的最小值为g（

π

12

）=-1；最大值为g（

π

2

）=

3

2

．

点评：本题给出正弦型三角函数的图象满足的条件，求ω的值并依此求g（x）的最小值和最大值．着重考查了三角恒等变换公式、三角函数周期公式和正弦函数的图象与性质等知识，属于中档题．