Question

设函数f(x，y)=(1+

m

y

)x(m＞0，y＞0)．
（1）当m=3时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若f(4，y)=a0+

a1

y

+

a2

y2

+

a3

y3

+

a4

y4

且a₃=32，求

4

i=0

ai；
（3）设n是正整数，t为正实数，实数t满足f（n，1）=mⁿf（n，t），求证：f(2010，1000

t

)＞3f(-2010，t)．

Answer 1

分析：（1）利用二项展开式的二项式系数的性质：展开式中中间项的二项式系数最大
（2）利用二项展开式的通项公式求出a₃列出方程解得m，通过对y赋值1求出展开式的各项系数和
（3）利用已知等式求出m，t的关系，代入不等式的左边利用二项式的展开式得到左边＞3，将m，t的关系代入右边得证．

解答：解：（1）展开式中二项式系数最大的项是第4项=

C

3 6

(

3

y

)3=

540

y3

；
（2）f(4，y)=a0+

a1

y

+

a2

y2

+

a3

y3

+

a4

y4

=(1+

m

y

)4，
a₃=C₄³m³=32?m=2，

4

i=0

ai=(1+

2

1

)4=81；
（3）由f（n，1）=mⁿf（n，t）可得(1+m)n=mn(1+

m

t

)n=(m+

m2

t

)n，
即1+m=m+

m2

t

?m=

t

?f(2010，1000

t

)=(1+

m

1000 t

)2010=(1+

1

1000

)2010＞1+

C

1 2010

1

1000

+

C

2 2010

(

1

1000

)2+

C

3 2010

(

1

1000

)3+

C

4 2010

(

1

1000

)4＞1+2+2+

4

3

+

2

3

=7＞1+2=3
而f(-2010，t)=(1+

m

t

)-2010=(1+

1

t

)-2010＜1，
所以f(2010，1000

t

)＞3f(-2010，t)原不等式成立．

点评：本题考查二项展开式的二项式系数的性质、二项展开式的通项公式、赋值法求各项系数和、通过二项式的展开式放缩证不等式．