Question

10．已知函数f（x）=ax²+b|x-1|，其中a，b∈（-4，4）且a≠0
（Ⅰ）当a∈（0，4），b=1时，求函数f（x）在[0，2]上的最小值；
（Ⅱ）若存在实数c，使函数g（x）=f（x）-c有四个不同的零点，求a+b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用零点分段法，将函数解析式化为分段函数的形式，结合二次函数的图象和性质，分析函数的单调性，进而可得函数f（x）在[0，2]上的最小值；
（Ⅱ）要使g（x）有四个不同的零点，则y=ax²+bx-b和y=ax²-bx+b必须分别在[1，+∞）和（-∞，1）上不单调，进而可得答案．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a{x^2}+x-1（x≥1）}\\{a{x^2}-x+1（x＜1）}\end{array}}\right.$
当$\frac{1}{2a}∈（{0，1}）$，即$\frac{1}{2}＜a＜4$时，f（x）在$[{0，\frac{1}{2a}}]$上递减，在$[{\frac{1}{2a}，2}]$上递增
所以$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{2a}）=1-\frac{1}{4a}$
当$\frac{1}{2a}∈[{1，+∞}）$，即$0＜a≤\frac{1}{2}$时，f（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增
所以f（x）_min=f（1）=a
综上可知，$f{（x）_{min}}=\left\{{\begin{array}{l}{1-\frac{1}{4a}（\frac{1}{2}＜a＜4）}\\{a（0＜a≤\frac{1}{2}）}\end{array}}\right.$…（7分）
（Ⅱ）$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{a{x^2}+bx-b（x≥1）}\\{a{x^2}-bx+b（x＜1）}\end{array}}\right.$
要使g（x）有四个不同的零点，则y=ax²+bx-b和y=ax²-bx+b必须分别在[1，+∞）和（-∞，1）上不单调
所以$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2a}＞1}\\{\frac{b}{2a}＜1}\end{array}}\right.⇒\frac{b}{2a}＜-1$，
即$\left\{{\begin{array}{l}{0＜a＜4}\\{-4＜b＜-2a}\end{array}}\right.$和$\left\{{\begin{array}{l}{-4＜a＜0}\\{-2a＜b＜4}\end{array}}\right.$
由线性规划知识可求得a+b∈（-4，0）∪（0，4）…（15分）

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，二次函数的图象和性质，线性规划，函数零点，难度中档．