Question

9．设f（x）和g（x）是定义在R上的两个函数，其中f（x）是偶函数．对于任意实数x₁，x₂，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立．
（1）判断函数g（x）的奇偶性：
（2）若g（x+2）是奇函数，且g（0）=2015，求g（2016）的值．

Answer 1

分析 （1）令x₂=-x₁，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，结合f（x）是偶函数，可得函数g（x）是偶函数；
（2）判断g（x）是周期为8的周期函数，即可得出结论．

解答 解：（1）令x₂=-x₁，不等式|f（x₁）-f（x₂）|≥|g（x₁）-g（x₂）|恒成立，
∴不等式|f（x₁）-f（-x₁）|≥|g（x₁）-g（-x₁）|恒成立，
∵f（x）是偶函数，
∴f（-x₁）=f（x₁），
∴f（x₁）-f（-x₁）=0，
∴不等式0≥|g（x₁）-g（-x₁）|恒成立，又|g（x₁）-g（-x₁）|≥0，
∴g（x₁）-g（-x₁）=0，
∴g（-x₁）=g（x₁），
∴函数g（x）是偶函数；
（2）∵g（x+2）是奇函数，
∴g（-x+2）=-g（x+2），
∴g（-x）=-g（x+4），
∴g（x）=-g（x+4），
∴g（x+8）=g（x），
∴g（x）是周期为8的周期函数，
∵g（0）=2015，
∴g（2016）=g（8×252）=g（0）=2015．

点评 本题考查函数的周期性、奇偶性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．