Question

19．设f（x）=log_ax，g（x）=log_a（5x-6），其中a＞0且a≠1．
（1）若f（x）=g（x），求实数x的值；
（2）若f（x）＞g（x），求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）转化为$\left\{\begin{array}{l}{x=5x-6}\\{x＞0}\\{5x-6＞0}\end{array}\right.$即可求解．
（2）分类讨论转化当a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{x＞5x-6}\\{x＞0}\\{5x-6＞0}\end{array}\right.$，当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{x＜5x-6}\\{x＞0}\\{5x-6＞0}\end{array}\right.$求解即可得出x的范围．

解答 解：f（x）=log_ax，g（x）=log_a（5x-6），其中a＞0且a≠1．
（1）∵f（x）=g（x），
∴x=5x-6，解得x=$\frac{3}{2}$，检验知，适合题意，
∴实数x的值为$\frac{3}{2}$；
（2）∵f（x）＞g（x），
∴log_ax＞log_a（5x-6），
当a＞1时，$\left\{\begin{array}{l}{x＞5x-6}\\{x＞0}\\{5x-6＞0}\end{array}\right.$，
即$\frac{6}{5}$$＜x＜\frac{3}{2}$，
∴实数x的取值范围：$\frac{6}{5}$$＜x＜\frac{3}{2}$；
当0＜a＜1时，$\left\{\begin{array}{l}{x＜5x-6}\\{x＞0}\\{5x-6＞0}\end{array}\right.$，
即x$＞\frac{3}{2}$；
∴实数x的取值范围：x$＞\frac{3}{2}$．

点评 本题考察了对数函数的概念性质，不等式的求解，转化思想，属于中档题，关键是利用单调性转化为不等式组即可．