Question

已知双曲线的左右焦点分别为F₁、F₂，点P在双曲线的右支上，且|PF₁|=4|PF₂|，则此双曲线的离心率e的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，再根据点P在双曲线的右支上，可得|PF₂|≥c-a，从而求得此双曲线的离心率e的取值范围．

解答：解：∵|PF₁|=4|PF₂|，
∴由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=3|PF₂|=2a，
∴|PF₂|=

2a

3

，
∵点P在双曲线的右支上，
∴|PF₂|≥c-a，
∴

2a

3

≥c-a，
∴e=

c

a

≤

5

3

，
∵e＞1，
∴1＜e≤

5

3

，
∴双曲线的离心率e的取值范围为（1，

5

3

]．
故答案为：（1，

5

3

]．

点评：本题考查双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，考查学生的计算能力，属于中档题．