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    （08年长郡中学二模理）（13分）  已知椭圆方程为，长轴两端点为，短轴上端点为．

    （1）若椭圆焦点坐标为，点在椭圆上运动，当的最大面积为3时，求其椭圆方程；

    （2）对于（1）中的椭圆方程，作以为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三角形，设直线的斜率为，试求的值；

    （3）过任作垂直于，点在椭圆上，试问在轴上是否存在点，使得直线的斜率与的斜率之积为定值，如果存在，找出一个点的坐标，如果不存在，说明理由．

    解析：（1）由已知：， ，联立方程组求得：

    所求方程为：        。。。。。。4分                         

    （2）依题意设所在的直线方程为，代入椭圆方程并整理得：，则同理 

    由得，即 故

                     8分

    （3）由题意知设

                                                

    又由得，同理，

    所以.

    从而得所以   

    而(为定值).对比上式可知：

    选取，则得直线的斜率与的斜率之积为           13分

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