Question

【题目】如图甲，E是边长等于2的正方形的边CD的中点，以AE、BE为折痕将△ADE与△BCE折起，使D，C重合(仍记为D)，如图乙.

（1）探索:折叠形成的几何体中直线DE的几何性质(写出一条即可，不含DE⊥DA，DE⊥DB，说明理由)；

（2）求二面角D-BE-A的余弦值

Answer 1

【答案】（1）几何性质见解析，理由见解析；（2）

【解析】

（1）根据折前折后折痕同侧的位置关系、长度不变，可以证明平面，据此结论也可得到，或与平面内任一直线都垂直，也可计算直线与平面所成角等于；

（2）建立空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值.

（1）性质1：平面.

证明如下：翻折前，，

翻折后仍然，

且，

则平面.

性质2：.

证明如下：

与性质1证明方法相同，得到平面.

又因平面，则.

性质3：与平面内任一直线都垂直.

证明如下：

与性质1证明方法相同，得到平面，

从而与平面内任一直线都垂直.

性质4：直线与平面所成角等于.

证明如下：

如图，取的中点，连接，，

由得，

与性质2证明相同，得，

再因，则平面，进而平面平面.

作于，则平面，

即就是直线与平面所成的角.

，，，.

（2）与（1）之性质4证明相同，得到，平面，，平面内，则平面平面.

以为坐标原点、为轴建立如图所示的空间直角坐标系.

，
，，则平面的一个法向量，

，，，.

设是平面的法向量，

则

取，求得一个法向量

记二面角的大小为，则与相等或互补，

，

因是锐角，则.