Question

如图，P₁（x₁，y₁）、P₂（x₂，y₂）、…、P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．
（1）写出a₁，a₂，a₃；
（2）求出点A_n（a_n，0）（n∈N^*）的横坐标a_n关于n的表达式；
（3）设bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

+…+

1

a2n

，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可知直线A₀P₁为y=

3

x，然后与y²=3x联立可得到P₁的坐标，再由△A₀A₁P₁是正三角形可得到A₁的坐标得到a₁的值，同理可得到a₂、a₃．
（2）先根据题意可得到关系xn=

an-1+an

2

，yn=

3

•

an-an-1

2

，然后根据y_n²=3x_n得（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n），从而可猜想数列通项公式a_n=n（n+1），再由数学归纳法证明即可．
（3）先根据（2）中a_n的表达式可得到b_n的关系式b_n=

1

(2n+ 1 n )+3

，再由函数的单调性可判断当n=1是b_n的最大值，故为使得不等式t2-2mt+

1

6

＞bn恒成立只要t2-2mt+

1

6

＞(bn)max=

1

6

即可，即只要t²-2mt＞0对于?m∈[-1，1]恒成立即可，再由二次函数的性质即可得到t的范围．

解答：解（1）a₁=2，a₂=6，a₃=12；
（2）依题意，得xn=

an-1+an

2

，yn=

3

•

an-an-1

2

，由此及y_n²=3x_n得(

3

•

an-an-1

2

)2=

3

2

(an-1+an)，即（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n）．
由（1）可猜想：a_n=n（n+1）n∈N^*
下面用数学归纳法予以证明：
（1）当n=1时，命题显然成立；
（2）假定当n=k时命题成立，即有a_n=k（k+1），则当n=k+1时，由归纳假设及（a_k+1-a_k）²=2（a_k+a_k+1）得[a_k+1-k（k+1）]²=2[k（k+1）+a_k+1]，即（a_k+1）²-2（k²+k+1）a_k+1+[k（k-1）]•[（k+1）（k+2）]=0，
解之得a_k+1=（k+1）（k+2）（a_k+1=k（k-1）＜a_k不合题意，舍去），
即当n=k+1时，命题成立．
由（1）、（2）知：命题成立．
（3）bn=

1

an+1

+

1

an+2

+

1

an+3

++

1

a2n

=

1

(n+1)(n+2)

+

1

(n+2)(n+3)

++

1

2n(2n+1)

=

1

n+1

-

1

2n+1

=

n

2n2+3n+1

=

1

(2n+ 1 n )+3

．
令f(x)=2x+

1

x

（x≥1），则f′(x)=2-

1

x2

≥2-1＞0，所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，
故当x=1时，f（x）取得最小值3，即当n=1时，(bn)max=

1

6

．t2-2mt+

1

6

＞bn（（?n∈N，?m∈[-1，1]）?t2-2mt+

1

6

＞(bn)max=

1

6

，即t²-2mt＞0（?m∈[-1，1]）?

t2-2t＞0  t2+2t＞0 •

解之得，实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．

点评：本题主要考查求数列通项公式、数列的单调性问题以及二次函数的恒成立问题，考查综合运用能力．