Question

如图，P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n）（0＜y₁＜y₂＜…＜y_n）是曲线C：y²=3x（y≥0）上的n个点，点A_i（a_i，0）（i=1，2，3，…，n）在x轴的正半轴上，且△A_i-1A_iP_i是正三角形（A₀是坐标原点）．则a₁=

 

；猜想a_n关于n的表达式为

 

．

Answer 1

分析：由题意可知直线A₀P₁为y=

3

x，然后与y²=3x联立可得到P₁的坐标，再由△A₀A₁P₁是正三角形可得到A₁的坐标得到a₁的值，先根据题意可得到关系，然后根据y_n²=3x_n得（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n），从而可猜想数列通项公式a_n=n（n+1）．

解答：解：y=

3

x  ①
y²=3x    ②
∴P1(1，

3

)
∴a₁=2，
依题意，得 xn=

an-1+an

2

，yn=

3

•

an-an-1

2

，
由此及y_n²=3x_n得 (

3

•

an-an-1

2

)2=

3

2

(an-1+an)，
即（a_n-a_n-1）²=2（a_n-1+a_n）．
由（1）可猜想：a_n=n（n+1）n∈N^*
故答案为：2；a_n=n（n+1）（n∈N^*）

点评：本题考查数列与解析几何的综合题目，解题过程中，用到方程的求解，注意题目中的运算比较繁琐，不要在这种环节出错．