Question

（本小题满分14分）

　 如图，是圆的直径，点在圆上，，交于点，平面，，．

（1）证明：；

（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．

Answer 1

解：（法一）（1）平面平面， ．……………1分

又，

平面

而平面

．  ………………………………………3分

是圆的直径，．

又，

．

平面，，

平面．

 

与都是等腰直角三角形．

．

，即（也可由勾股定理证得）．………………………………5分

，     平面．

而平面，

．  ………………………………………………………………………………6分

（2）延长交于，连，过作，连结．

由（1）知平面，平面，

．

而，平面．

平面，

，

为平面与平面所成的

二面角的平面角．     ……………………8分

 

在中，，，

．

由，得．

．

又，

，则．    ………………………………11分

是等腰直角三角形，．

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．　 ………………………12分

（法二）（1）同法一，得．             ………………………3分

如图，以为坐标原点，垂直于、、所在的直线为轴建立空间直角坐标系．

由已知条件得，

 

． ………4分

由，

得， ．   ……………6分

（2）由（1）知．

设平面的法向量为，

由 得，

令得，，             …………………………9分

由已知平面，所以取面的法向量为，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则， …………………………11分

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为．  ……………………12分

【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，考查应用向量知识解决数学问题的能力，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．