Question

9．已知α为第二象限的角，sinα=$\frac{1}{2}$，β为第一象限的角，cosβ=$\frac{3}{5}$．　则tan（2α-β）的值为（　　）

• A． $\frac{{48+25\sqrt{3}}}{39}$
• B． $\frac{{48-25\sqrt{3}}}{39}$
• C． $-\frac{{48+25\sqrt{3}}}{39}$
• D． $-\frac{{48-25\sqrt{3}}}{39}$

Answer 1

分析 利用同角三角函数的基本关系求得tanα、tanβ的值，利用二倍角公式求得tan2α的值，再利用两角差的正切公式求得tan（2α-β）的值．

解答 解：∵α为第二象限的角，sinα=$\frac{1}{2}$，∴cosα=-$\sqrt{{1-sin}^{2}α}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴sin2α=2sinαcosα=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，cos2α=2cos²α-1=$\frac{1}{2}$，tan2α=$\frac{sin2α}{cos2α}$=-$\sqrt{3}$．
∵β为第一象限的角，cosβ=$\frac{3}{5}$，∴sinβ=$\sqrt{{1-cos}^{2}β}$=$\frac{4}{5}$，∴tanβ=$\frac{4}{3}$，
则tan（2α-β）=$\frac{tan2α-tanβ}{1+tan2α•tanβ}$=$\frac{-\sqrt{3}-\frac{4}{3}}{1-\sqrt{3}•\frac{4}{3}}$=$\frac{48+25\sqrt{3}}{39}$，
故选：A．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角差的正切公式的应用，属于基础题．