Question

17．已知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，则（　　）

• A． f（1）＜ef（0），f（2017）＞e²⁰¹⁷f（0）
• B． f（1）＞ef（0），f（2017）＞e²⁰¹⁷f（0）
• C． f（1）＞ef（0），f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）
• D． f（1）＜ef（0），f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数判断其单调性即可得出．

解答 解：知f（x）是可导的函数，且f′（x）＜f（x）对于x∈R恒成立，即f′（x）-f（x）＜0恒成立，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x}f′（x）-{e}^{x}f（x）}{{e}^{2x}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＜0．
∴函数g（x）在R上单调递减．
∴g（1）＜g（0），g（2017）＜g（0）．
即$\frac{f（1）}{e}＜\frac{f（0）}{1}$，$\frac{f（2017）}{{e}^{2017}}$＜$\frac{f（0）}{1}$，
化为f（1）＜ef（0），f（2017）＜e²⁰¹⁷f（0）．
故选：D．

点评 本题是一个知识点交汇的综合题，考查综合运用函数思想解题的能力．恰当构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数判断其单调性是解题的关键．