Question

8．设AB是双曲线Γ的实轴，点C在Γ上，且∠CAB=$\frac{π}{4}$，若AB=4，BC=$\sqrt{26}$，则双曲线的焦距是4$\sqrt{6}$．

Answer 1

分析 在△ABC中，由余弦定理得CB²=CA²+BA²-2CABAcos$\frac{π}{4}$，解得CA=5$\sqrt{2}$，过C作CM⊥x轴于M，可得C，点C坐标代入双曲线方程得$\frac{9}{{2}^{2}}-\frac{25}{{b}^{2}}=1$，解得b²，c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$即可．，

解答 解：如图所示，在△ABC中，由余弦定理得CB²=CA²+BA²-2CABAcos$\frac{π}{4}$，解得CA=5$\sqrt{2}$，
过C作CM⊥x轴于M，CM=5$\sqrt{2}$×$cos\frac{π}{4}$=5，AM=5$\sqrt{2}$，
∴C（3，5），点C坐标代入双曲线方程得$\frac{9}{{2}^{2}}-\frac{25}{{b}^{2}}=1$，解得b²=20，
c=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=2\sqrt{6}$，双曲线的焦距是2c=4$\sqrt{6}$．
故答案为：4$\sqrt{6}$．

点评 本题考查了直线与双曲线的位置关系，利用平面几何知识和圆锥曲线的定义是解此类题的有效方法，属于中档题．