Question

13．某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米 （四舍五入，精确到0.1米） 以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分（如图），已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04，0.10，0.14，0.28，0.30，第6小组的频数是7．
（1）求进入决赛的人数；
（2）经过多次测试后发现，甲成绩均匀分布在8～10米之间，乙成绩均匀分布在9.5～10.5米之间，现甲，乙各跳一次，求甲比乙远的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率分直方图求出第6小组的频率，从而求出总人数，进而得到第4、5、6组成绩均进入决赛，由此能求出进入决赛的人数．
（2）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为：$\left\{\begin{array}{l}{8≤x≤10}\\{9.5≤y≤10.5}\end{array}\right.$，由此利用几何概型能求出甲比乙远的概率．

解答 解：（1）第6小组的频率为1-（0.04+0.10+0.14+0.28+0.30）=0.14，
∴总人数为$\frac{7}{0.14}$=50（人）．…（2分）
∴第4、5、6组成绩均进入决赛，人数为（0.28+0.30+0.14）×50=36（人）
即进入决赛的人数为36．…（6分）
（2）设甲、乙各跳一次的成绩分别为x、y米，则基本事件满足的区域为$\left\{\begin{array}{l}{8≤x≤10}\\{9.5≤y≤10.5}\end{array}\right.$，
事件A“甲比乙远的概率”满足的区域为x＞y，如图所示．…（10分）

∴由几何概型P（A）=$\frac{\frac{1}{2}×\frac{1}{2}×\frac{1}{2}}{1×2}$=$\frac{1}{16}$．即甲比乙远的概率为$\frac{1}{16}$．…（12分）

点评 本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题．