Question

3．已知函数f（x）=x²e^ax，x∈R，其中e=2.71828…，常数a∈R
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对于任意的a＞0都有$f（x）≤{f^'}（x）+\frac{{{x^2}+ax+{a^2}+1}}{a}{e^{ax}}$成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性求得关系，即可求得f（x）的单调性；
（2）求导，原不等式x²≤2x+ax²+$\frac{{x}^{2}+ax+{a}^{2}+1}{a}$，对任意a＞0恒成立，整理得：a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}+1}$（a＞0），利用基本不等式性质，即可求得$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}+1}$≤2，即可求得实数x的取值范围．

解答 解：（1）求导，f'（x）=2xe^ax+ax²e^ax=（2x+ax²）e^ax．
当a=0时，若x＜0，则f'（x）＜0，若x＞0，则f'（x）＞0．
∴当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数．
当a＞0时，由2x+ax²＞0，解得x＜-$\frac{2}{a}$或x＞0，
由2x+ax²＜0，解得-$\frac{2}{a}$＜x＜0．
∴当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，-$\frac{2}{a}$）内为增函数，在区间（-$\frac{2}{a}$，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
当a＜0时，由2x+ax²＞0，解得0＜x＜-$\frac{2}{a}$，
由2x+ax²＜0，解得x＜0或x＞-$\frac{2}{a}$．
∴当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，-$\frac{2}{a}$）内为增函数，在区间（-$\frac{2}{a}$，+∞）内为减函数；
综上可知：当a=0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
当a＞0时，函数f（x）在区间（-∞，-$\frac{2}{a}$）内为增函数，在区间（-$\frac{2}{a}$，0）内为减函数，在区间（0，+∞）内为增函数；
当a＜0时，函数f（x）在区间（-∞，0）内为减函数，在区间（0，-$\frac{2}{a}$）内为增函数，在区间（-$\frac{2}{a}$，+∞）内为减函数；
（2）由题意可知：对任意a＞0，x²e^ax≤2xe^ax+ax²e^ax+$\frac{{x}^{2}+ax+{a}^{2}+1}{a}$e^ax恒成立，
即x²≤2x+ax²+$\frac{{x}^{2}+ax+{a}^{2}+1}{a}$，对任意a＞0恒成立，
则（a+$\frac{1}{a}$）（x²+1）≥x²-3x，即a+$\frac{1}{a}$≥$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}+1}$（a＞0），
由a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{1}{a}}$=2，当且仅当a=$\frac{1}{a}$时，即a=1时，取最小值，
则$\frac{{x}^{2}-3x}{{x}^{2}+1}$≤2，解得：x≤-2或x≥-1，
综上可知：x的取值范围为（-∞，-2]∪[-1，+∞）．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数的关系，基本不等式的性质，考查分类讨论思想及转化思想，属于中档题．