Question

4．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₁=2，a₂=8，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），T_n是数列{log₂a_n}的前n项和T_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求T_n；
（3）求满足$（1-\frac{1}{T_2}）（1-\frac{1}{T_3}）…（1-\frac{1}{T_n}）＞\frac{1011}{2014}$的最大正整数n的值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件得S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1），从而a_n+1=4a_n，由此推导出数列{a_n}是以a₁=2为首项，公比为4的等比数列．从而a_n=2•4^n-1=2^2n-1．
（2）由log₂a_n=log₂2^2n-1=2n-1，能求出数列{log₂a_n}的前n项和；
（3）令$\frac{n+1}{2n}$＞$\frac{1011}{2014}$，能求出满足条件的最大正整数n的值．

解答 解：（1）∵当n≥2时，S_n+1+4S_n-1=5S_n（n≥2），
∴S_n+1-S_n=4（S_n-S_n-1），
∴a_n+1=4a_n，∵a₁=2，a₂=8，
∴a₂=4a₁，
∴数列{a_n}是以a₁=2为首项，公比为4的等比数列．
∴a_n=2•4^n-1=2^2n-1．
（2）由（1）得：log₂a_n=log₂2^2n-1=2n-1，
∴T_n=log₂a₁+log₂a₂+…+log₂a_n
=1+3+…+（2n-1）
=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
（3）（1-$\frac{1}{{T}_{2}}$）（1-$\frac{1}{{T}_{3}}$）…（1-$\frac{1}{{T}_{n}}$）
=（1-$\frac{1}{{2}^{2}}$）（1-$\frac{1}{{3}^{2}}$）…（1-$\frac{1}{{n}^{2}}$）
=$\frac{{2}^{2}-1}{{2}^{2}}$•$\frac{{3}^{2}-1}{{3}^{2}}$•$\frac{{4}^{2}-1}{{4}^{2}}$…$\frac{{n}^{2}-1}{{n}^{2}}$
=$\frac{n+1}{2n}$，
令$\frac{n+1}{2n}$＞$\frac{1011}{2014}$，解得：n＜251$\frac{3}{4}$，
故满足条件的最大正整数n的值是251．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查最大的正整数的求法，解题时要认真审题，注意构造法的合理运用．