Question

2．已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=2，b₁=1，a_n+1=2a_n（n∈N^*），b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=b_n+1-1（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a_n与b_n；
（Ⅱ）记数列{a_nb_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用公式直接计算可知数列{a_n}的通项公式，通过作差可知$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=\frac{{b}_{n}}{n}$，进而可得b_n=n；
（Ⅱ）通过（1）可知a_nb_n=n•2ⁿ，即可利用错位相加法计算数列的和．

解答 解：（Ⅰ）由a₁=2，a_n+1=2a_n，得：${a}_{n}={2}^{n}$；
由b₁=1，b₁+$\frac{1}{2}$b₂+$\frac{1}{3}$b₃+…+$\frac{1}{{b}_{n}}$=b_n+1-1知，
当n=1时，b₁=b₂-1，故b₂=2．
当n≥2时，$\frac{1}{n}{b}_{n}={b}_{n+1}-{b}_{n}$，整理得：$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}=\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{b}_{2}}{{b}_{1}}=\frac{2}{1}$，$\frac{{b}_{3}}{{b}_{2}}=\frac{3}{2}$，…，$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n-1}}=\frac{n}{n-1}$（n≥2）．
累积可得：b_n=n，
验证b₁=1成立，
∴b_n=n；
（Ⅱ）由（1）知，${a}_{n}{b}_{n}=n•{2}^{n}$，
∴数列{a_nb_n}的前n项和为T_n=2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，
$2{T}_{n}={2}^{2}+2×{2}^{3}+3×{2}^{4}+…+（n-1）×{2}^{n}+n×{2}^{n+1}$，
作差可得：$-{T}_{n}=2+{2}^{2}+{2}^{3}+…+{2}^{n}-n×{2}^{n+1}$=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}-n×{2}^{n+1}$=2ⁿ⁺¹-2-n×2ⁿ⁺¹，
∴${T}_{n}=（n-1）×{2}^{n+1}+2$．

点评 本题考查数列的递推关系式，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．