定义数列: .且对任意正整数.有. (1)求数列的通项公式与前项和, (2)问是否存在正整数.使得?若存在.则求出所有的正整数对 ,若不存在.则加以证明. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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定义数列：，且对任意正整数，有.

（1）求数列的通项公式与前项和；

（2）问是否存在正整数，使得？若存在，则求出所有的正整数对

；若不存在，则加以证明.

【答案】

（1），；

（2）见解析.

【解析】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识．

解：（1）对任意正整数k，

，

. 1分

所以数列是首项,公差为2等差数列；数列是首项

,公比为3的等比数列. 2分

对任意正整数k, ,. 3分

所以数列的通项公式 4分

对任意正整数k,

. 5分

6分

所以数列的前n项和为

. 7分

(2) ,

从而,由知m=1,2,3 8分

①当时, 9分

②当时, 10分

③当时,

13分

综上可知,符合条件的正整数对(m,n)只有两对：(2,2,)与(3,1) 14分

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我们知道，如果定义在某区间上的函数f（x）满足对该区间上的任意两个数x₁、x₂，总有不等式

f(x1)+f(x2)

≤f(

x1+x2

)成立，则称函数f（x）为该区间上的向上凸函数（简称上凸）．类比上述定义，对于数列{a_n}，如果对任意正整数n，总有不等式：

an+an+2

≤an+1成立，则称数列{a_n}为向上凸数列（简称上凸数列）．现有数列{a_n}满足如下两个条件：
（1）数列{a_n}为上凸数列，且a₁=1，a₁₀=28；
（2）对正整数n（1≤n＜10，n∈N^*），都有|a_n-b_n|≤20，其中b_n=n²-6n+10．
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．

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a	b
c	d

的式子叫做二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算

a	b
c	d

•

ax+bx

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．该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵

a	b
c	d

的作用下变换成点（ax+by，cx+dy）．
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0	1
1	0

的作用下变换成点M′，求点M′的坐标；
（2）设数列{a_n} 的前n项和为S_n，且对任意正整数n，点A（S_n，n）在

0	1
1	0

的作用下变换成的点A′在函数f（x）=x²+x的图象上，求a_n的表达式；
（3）在（2）的条件下，设b_n为数列{1-

}的前n项的积，是否存在实数a使得不等式bn

an+1

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（2012•深圳二模）定义数列{a_n}：a₁=1，a₂=2，且对任意正整数n，有an+2=[2+(-1)n]an+（-1）ⁿ⁺¹+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式与前n项和S_n；
（2）问是否存在正整数m，n，使得S_2n=mS_2n-1？若存在，则求出所有的正整数对（m，n）；若不存在，则加以证明．

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