Question

（本小题满分14分）

如图，椭圆的顶点为焦点为

 S_□ = 2S_□.

 

 

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设直线过P(1,1),且与椭圆相交于A，B两点，当P是AB的中点时，求直线的方程．

 (Ⅲ)设n为过原点的直线，是与n垂直相交于P点、与

椭圆相交于A,B两点的直线，,是否存在上述直线使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由知，            ①

由S_□ = 2S_□知，               ②

又，                                ③

由①，②，③解得，故椭圆C的方程为.    …………4分

（Ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

 则，，两式相减得：． 

∵P是AB的中点，∴ 可得直线AB的斜率为，                       

∴直线的方程为．                             …………7分

当直线的斜率不存在时，将x=1代入椭圆方程并解得，，

这时AB的中点为，∴x=1不符合题设要求．

综上，直线的方程为．                        …………9分                               

（Ⅲ）设两点的坐标分别为，假设满足题设的直线存在，

（i）当不垂直于轴时，设的方程为，由与垂直相交于点且得，即，

又∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB, ∴.

将代入椭圆方程，得，

由求根公式可得，           ④

.                           ⑤

，

将④，⑤代入上式并化简得

，⑥

将代入⑥并化简得，矛盾.

即此时直线不存在.                                        …………12分

（ii）当垂直于轴时，满足的直线的方程为或，

当时，的坐标分别为，

，，

当时，同理可得

即此时直线也不存在.                                      …………13分

综上可知，使以AB为直径的圆过原点的直线不存在.           …………14分

【解析】略