Question

如图，已知几何体ABC-DEF中，△ABC及△DEF都是边长为2的等边三角形，四边形ABEF为矩形，且CD=AF+2，CD//AF，O为AB中点.

（1）求证：AB⊥平面DCO

（2）若M为CD中点，AF=x，则当x取何值时，使AM与平面ABEF所成角为45°？

试求相应的x值的.

（3）求该几何体在(2)的条件下的体积.

Answer 1

解：(1)因为△ABC为等边三角形，O为AB中点，故AB⊥CO，

又CD//AF，在矩形ABEF中AB⊥AF，所以AB⊥CD，

由CD∩CO=C，证得AB⊥平面DCO

   （2）设I为EF中点，连接OI，依题意，四边形

   OIDC为等腰梯形；

在梯形OIDC中过O作OH⊥CD垂足为H，过M作

MG//OG，则MG⊥OI，由（1）可知：面OIDC⊥面ABEF

   因为OIDC∩面ABEF=OI，所以MG⊥面ABEF，

   

连接AC，则∠MAG等于直线AM与平面ABEF所成角

因为在正三角形ABC中，AO=1,CO=，在等腰梯形OIDC中CH=1，OG=0.5x;

所以在直角三角形OCH中，OH=，即MG=；

在直角三角形AOG z中，AG=

由tan∠MAG=

（3）连接AH、BH，由（1）（2）可知，

该几何体的体积等于两个以三角形ABH为底面，

CH为高的三棱锥的体积与一个以三角形ABH为底面，AF为高的三棱柱的体积之和.

解二：建坐标系（略）