Question

已知P（2，0），对于抛物线y²=mx上任何一点Q，|PQ|≥2，则m的取值范围是

1. A.
   （0，4]
2. B.
   （-∞，0）∪（0，4]
3. C.
   [4，+∞）
4. D.
   （-∞，0）∪[4，+∞）

Answer 1

D
分析：由题意可得：只需|PQ|_min≥2即可．再分当m＜0时与当m＞0时进行讨论，根据抛物线的性质可得当m＜0时恒有|PQ|≥2成立，当m＞0时，设Q（ ，t），由|PQ|≥2得t²-4m+m²≥0恒成立，即t²≥4m-m²恒成立，则有4m-m²≤0，进而得到答案．
解答：因为对于抛物线y²=mx上任何一点Q，|PQ|≥2，
所以只需|PQ|_min≥2即可．
当m＜0时，抛物线y²=mx的开口方向向左，
所以此时|PQ|_min=|OP|=2，
所以m＜0时，对于抛物线y²=mx上任何一点Q，恒有|PQ|≥2成立．
当m＞0时，抛物线y²=mx的开口方向向右，
设Q（ ，t），由|PQ|≥2得（ -2）²+t²≥4恒成立，整理可得：t²（t²-4m+m²）≥0恒成立，
即有t²-4m+m²≥0恒成立，
所以t²≥4m-m²恒成立，则有4m-m²≤0，解得：m≥4．
由以上可得：m的取值范围是 （-∞，0）或者[4，+∞）．
故选D．
点评：解决成立问题的关键是熟练掌握抛物线的简单性质，以及熟练掌握恒成立问题，本题主要考查分类讨论的数学思想与恒成立问题，此题属于难题，是高考的考点．