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(本小题满分12分)
设数列的各项都为正数,其前项和为,已知对任意的等比中项.
(Ⅰ)证明数列为等差数列,并求数列的通项公式;
(Ⅱ)证明
(Ⅲ)设集合,且,若存在,使对满足的一切正整数,不等式恒成立,求这样的正整数共有多少个?

解:(Ⅰ)由已知,,且. ………………………1分
时,,解得.   ……………………………2分
时,有
于是
于是,即
因为,所以
故数列是首项为2,公差为2的等差数列,且.……………………4分
(Ⅱ)因为,则,…………………………………5分
所以…7分
(Ⅲ)由,得,所以. …… 9分
由题设,,…,…,
因为∈M,所以,…,均满足条件.…………………10分
且这些数组成首项为,公差为的等差数列.                                                                     
设这个等差数列共有项,则,解得
故集合M中满足条件的正整数共有450个.…………………………12分

解析

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(本小题满分12分)已知数列的首项为,前项和为,且
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(Ⅱ)需要修建多少个轻轨中间站才能使最小?其最小值为多少万元?

 

 

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