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设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)
(1)设n>2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点;
(2)设n为偶数,|fn(-1)|≤1,|fn(1)|≤1,求3b+c的最小值和最大值;
(3)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤9,求b的取值范围.
【答案】分析:(1)将n>2,b=1,c=-1代入可得fn(x)=xn+x-1,结合指数函数的性质可得fn′(x)=nxn-1+1>0在(,1)上恒成立,进而判断出函数在区间上单调,分析区间两端点的函数值符号关系,进而根据零点存在定理,可得答案.
(2)由,|fn(-1)|≤1,|fn(1)|≤1,利用待定系数法结合不等式的基本性质,可得3b+c的范围,进而求出3b+c的最小值和最大值;
(3)将n=2,根据|f2(x1)-f2(x2)|≤9,分类讨论不同情况下b的取值范围,综合讨论结果,可得b的取值范围.
解答:解:(1)由n>2,b=1,c=-1,得fn(x)=xn+x-1
∴fn′(x)=nxn-1+1>0在(,1)上恒成立,
从而fn(x)=xn+x-1在(,1)单调递增,
又fn(1)=1>0,fn)=(n-<(2-<0,
即fn(x)在区间(,1)内存在唯一的零点.
(2)因为|fn(-1)|≤1⇒-1≤1-b+c≤1⇒0≤b-c≤2
|fn(1)|≤1⇒-1≤1+b+c≤1⇒-2≤b+c≤0
又∵3b+c=(b-c)+2(b+c)
∴-4≤3b+c≤2
即3b+c的最小值为-4,最大值为2
(3)当n=2时,f2(x)=x2+bx+c
(Ⅰ)当b≥2或b≤-2时,即≤-1或≥1,此时
只需满足|f2(1)-f2(-1)|=|2b|≤9
∴-≤b≤
即b∈[-,-2]∪[2,]
(Ⅱ)当0≤b<2时,即-1<≤0,此时
只需满足f2(1)-f2)≤9,即b2+4b-32≤0
解得:-8≤b<4,
即b∈[0,2)
(Ⅲ)当-2<b<0时,即0<<1,此时
只需满足f2(-1)-f2)≤9,即b2-4b-32≤0
解得:-4≤b≤8,
即b∈(-2,0)
综上所述:b∈[-]
点评:本题考查的知识点是零点存在定理,导数法判断函数的单调性,待定系数法求范围,及函数恒成立问题,是函数与导数的综合应用,难度比较大,运算量也比较大.
练习册系列答案
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设函数fn(x)=xn+x-1,其中n∈N*,且n≥2,给出下列三个结论:
①函数f3(x)在区间(
1
2
,1)内不存在零点;
②函数f4(x)在区间(
1
2
,1)内存在唯一零点;
③设xn(n>4)为函数fn(x)在区间(
1
2
,1)内的零点,则xn<xn+1
其中所有正确结论的序号为
②③
②③

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,1)内存在唯一的零点;
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x
1!
+
x2
2!
+…+
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n!
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(1)证明:e-xf3(x)≤1;
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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设函数fn(x)=xn+x-1,其中n∈N*,且n≥2,给出下列三个结论:
①函数f3(x)在区间(
1
2
,1)内不存在零点;
②函数f4(x)在区间(
1
2
,1)内存在唯一零点;
③设xn(n>4)为函数fn(x)在区间(
1
2
,1)内的零点,则xn<xn+1
其中所有正确结论的序号为______.

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科目:高中数学 来源:高考真题 题型:解答题

设函数fn(x)=xn+bx+c(n∈N+,b,c∈R)。
(1)设n≥2,b=1,c=-1,证明:fn(x)在区间内存在唯一的零点;
(2)设n=2,若对任意x1,x2∈[-1,1],有|f2(x1)-f2(x2)|≤4,求b的取值范围;
(3)在(1)的条件下,设xn是fn(x)在内的零点,判断数列x2,x3,…,xn…的增减性。

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