Question

设函数f_n（x）=xⁿ+bx+c（n∈N₊，b，c∈R）
（1）设n＞2，b=1，c=-1，证明：f_n（x）在区间（，1）内存在唯一的零点；
（2）设n为偶数，|f_n（-1）|≤1，|f_n（1）|≤1，求3b+c的最小值和最大值；
（3）设n=2，若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，有|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤9，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）将n＞2，b=1，c=-1代入可得f_n（x）=xⁿ+x-1，结合指数函数的性质可得f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（，1）上恒成立，进而判断出函数在区间上单调，分析区间两端点的函数值符号关系，进而根据零点存在定理，可得答案．
（2）由，|f_n（-1）|≤1，|f_n（1）|≤1，利用待定系数法结合不等式的基本性质，可得3b+c的范围，进而求出3b+c的最小值和最大值；
（3）将n=2，根据|f₂（x₁）-f₂（x₂）|≤9，分类讨论不同情况下b的取值范围，综合讨论结果，可得b的取值范围．
解答：解：（1）由n＞2，b=1，c=-1，得f_n（x）=xⁿ+x-1
∴f_n′（x）=nx^n-1+1＞0在（，1）上恒成立，
从而f_n（x）=xⁿ+x-1在（，1）单调递增，
又f_n（1）=1＞0，f_n（）=（）ⁿ-＜（）²-＜0，
即f_n（x）在区间（，1）内存在唯一的零点．
（2）因为|f_n（-1）|≤1⇒-1≤1-b+c≤1⇒0≤b-c≤2
|f_n（1）|≤1⇒-1≤1+b+c≤1⇒-2≤b+c≤0
又∵3b+c=（b-c）+2（b+c）
∴-4≤3b+c≤2
即3b+c的最小值为-4，最大值为2
（3）当n=2时，f₂（x）=x²+bx+c
（Ⅰ）当b≥2或b≤-2时，即≤-1或≥1，此时
只需满足|f₂（1）-f₂（-1）|=|2b|≤9
∴-≤b≤，
即b∈[-，-2]∪[2，]
（Ⅱ）当0≤b＜2时，即-1＜≤0，此时
只需满足f₂（1）-f₂（）≤9，即b²+4b-32≤0
解得：-8≤b＜4，
即b∈[0，2）
（Ⅲ）当-2＜b＜0时，即0＜＜1，此时
只需满足f₂（-1）-f₂（）≤9，即b²-4b-32≤0
解得：-4≤b≤8，
即b∈（-2，0）
综上所述：b∈[-，]
点评：本题考查的知识点是零点存在定理，导数法判断函数的单调性，待定系数法求范围，及函数恒成立问题，是函数与导数的综合应用，难度比较大，运算量也比较大．