Question

（2012•绵阳三模）对于定义在区间D上的函数f（X），若存在闭区间[a，b]?D和常数c，使得对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=c，且对任意x₂∈D，当x₂∉[a，b]时，f（x₂）＜c恒成立，则称函数f（x）为区间D上的“平顶型”函数．给出下列说法：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②函数f（x）=x-|x-2|为R上的“平顶型”函数；
③函数f（x）=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；
④当t≤

3

4

时，函数，f(x)=

2，(x≤1) log 1 2 (x-t)，(x＞1)

是区间[0，+∞）上的“平顶型”函数．
其中正确的是

①②④

．（填上你认为正确结论的序号）

Answer 1

分析：根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，但是定义并没有指出函数最小值的情况．由此定义再结合绝对值的性质和正弦函数的图象与性质，对于四个选项逐个加以判断，即得正确答案．

解答：解：对于①，根据题意，“平顶型”函数在定义域内某个子集区间内函数值为常数c，且这个常数是函数的最大值，故①正确．
对于②，函数f（x）=x-|x-2|=

2x-2 ，  x＜2 2 ， x≥2

，当且仅当x∈[2，+∞）时，函数的最大值为2，符合“平顶型”函数的定义，故②正确．
对于③，函数f（x）=sinx-|sinx|=

2sinx ， x∈[2kπ-π ，2kπ] 0 ， x∈[2kπ ，2kπ+π]

，但是不存在区间[a，b]，对任意x₁∈[a，b]，都有f（x₁）=2，
所以f（x）不是“平顶型”函数，故③不正确．
对于④当t≤

3

4

时，函数，f(x)=

2，(x≤1) log 1 2 (x-t)，(x＞1)

，当且仅当x∈（-∞，1]时，函数的最大值为2，符合“平顶型”函数的定义，故④正确．
故答案为 ①②④．

点评：本题以命题真假的判断为载体，着重考查了函数的最值及其几何意义、带绝对值的函数和正弦函数的定义域值域等知识点，属于中档题．