Question

在直线l：x+y-4=0上任取一点M，过点M且以双曲线x2-

y2

3

=1的焦点为焦点作椭圆．
（1）M点在何处时，所求椭圆长轴最短； 
（2）求长轴最短时的椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）设F₂关于l的对称点为F₂'（m，n），连结F₁F₂'，由平面几何知识可得F₁F₂'长就是椭圆长轴的最小值．再根据轴对称的性质，联解直线方程得到M坐标为(

5

2

，

3

2

)，即为满足椭圆长轴最短的点M位置；
（2）由（1）的结论算出2a=|MF1|+|MF′2|=|F1F′2|=2

10

，可得a=

10

，再根据椭圆焦点坐标为（±2，O）得c=2，算出b²=6，即可得到所求椭圆方程．

解答：解：（1）双曲线x2-

y2

3

=1中，a²=1且b²=3，
∴c²=a²+b²=4，
可得双曲线x2-

y2

3

=1的两焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），
过F₂向l引垂直线l'：y=x-2，设F₂关于l的对称点为F₂'（m，n），
则

m+2 2 + n 2 -4=0 n m-2 =-1

，解之得m=4且n=2，得F₂'（4，2）（如图），
∴直线F₁F₂'的方程为

y-0

2-0

=

x+2

4+2

，化简得x-3y+2=0．
由

x-3y+2=0 x+y-4=0.

，解得

x= 5 2 y= 3 2 .

，
∴M(

5

2

，

3

2

)即为满足椭圆长轴最短的点；
（2）设所求椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由（1）得椭圆长轴最短时，2a=|MF₁|+|MF₂|=|MF1|+|MF′2|=|F1F′2|=2

10

，可得a=

10

，
∵焦点为（±2，O），得c=2，
∴b²=a²-c²=10-4=6，所求椭圆方程为

x2

10

+

y2

6

=1．

点评：本题求以定点为焦点，且长轴最短的椭圆的标准方程．着重考查了直线的位置关系、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．