Question

（2010•江苏二模）在等腰△ABC中，已知AB=AC，B（-1，0），D（2，0）为AC的中点．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）已知直线l：x+y-4=0，求边BC在直线l上的投影EF长的最大值．

Answer 1

分析：（1）设出C，进而可表示出D和A，进而利用B的坐标和AB=AC利用两点间的距离公式求得x和y的关系，进而根据A，B，C三点不共线判断出y≠0，则C点的轨迹方程可得．
（2）根据题意可求得BE的方程，设出直线CF的方程，当EF取得最大值时，直线CF与圆（x-1）²+y²=4相切．利用点到直线的距离求得b，则直线CF的方程可得．进而根据EF长的最大值是点B到CF的距离，答案可得．

解答：解：（1）设C（x，y），
∵D（2，0）为AC的中点，
∴A（4-x，-y）．
∵B（-1，0），由AB=AC，得AB²=AC²．
∴（x-5）²+y²=（2x-4）²+（2y）²．
整理，得（x-1）²+y²=4．
∵A，B，C三点不共线，∴y≠0．
则点C的轨迹方程为（x-1）²+y²=4（y≠0）．
（2）由条件，易得
BE：x-y+1=0．
设CF：x-y+b=0，
当EF取得最大值时，
直线CF与圆（x-1）²+y²=4相切．
设M（1，0），由

|1-0+b|

2

=2，得b=2

2

-1（舍去），或b=-2

2

-1．
∴CF：x-y-2

2

-1=0．
∴EF_max等于点B到CF的距离
=

|-1-0-2 2 -1|

2

=

2

+2．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．考查了学生运用解析几何的知识解决问题的能力．