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    （2010•江苏二模）如图是一块长方形区域ABCD，AD=2（km），AB=1（km）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为
    π
    4
    ，设∠AOE=α（0≤α≤
    3π
    4
    ），探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
    （1）当0≤α＜
    π
    2
    时，写出S关于α的函数表达式；
    （2）当0≤α≤
    π
    4
    时，求S的最大值．
    （3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG=
    π
    6
    ，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．
    分析：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足，讨论α的范围，当0≤α≤
    π
    4
    时，E在边AB上，F在线段BH上，根据S=S正方形OABH-S△OAE-S△OHF，当
    π
    4
    ＜α＜
    π
    2
    时，E在线段BH上，F在线段CH上，S=S△OEF．
    （2）当0≤α≤
    π
    4
    时，利用基本不等式求出S的最大值，注意等号成立的条件；
    （3）在“一个来回”中，求出OE共转动的角度，其中点G被照到时，共转的角度，从而可求出“一个来回”中，点G被照到的时间．
    解答：解：（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．
    ①当0≤α≤
    π
    4
    时，
    E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
    此时，AE=tanα，FH=tan(
    π
    4
    -α)    ，…（2分）
    ∴S=S正方形OABH-S△OAE-S△OHF
    =1-
    1
    2
    tanα-
    1
    2
    tan(
    π
    4
    -α)    ．   …（4分）
    ②当
    π
    4
    ＜α＜
    π
    2
    时，
    E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），
    此时，EH=
    1
    tanα
    ，FH=
    1
    tan(
    3π
    4
    -α)
    ，…（6分）
    ∴EF=
    1
    tanα
    +
    1
    tan(
    3π
    4
    -α)
    ．
    ∴S=S△OEF=
    1
    2
    (
    1
    tanα
    +
    1
    tan(
    3π
    4
    -α)
    )    ．
    综上所述，S=
    1-
    1
    2
    tanα-
    1
    2
    tan(
    π
    4
    -α) (0 ≤ α ≤ 
    π
    4
    )
    1
    2
    (
    1
    tanα
    +
    1
    tan(
    3π
    4
    -α)
    ) (
    π
    4
    ＜α＜
    π
    2
    ).
    …（8分）
    （2）当0≤α≤
    π
    4
    时，S=1-
    1
    2
    tanα-
    1
    2
    tan(
    π
    4
    -α)    ，
    即S=2-
    1
    2
    (1+tanα+
    2
    1+tanα
    )    ．             …（10分）
    ∵0≤α≤
    π
    4
    ，∴0≤tanα≤1．即1≤1+tanα≤2．
    ∴1+tanα+
    2
    1+tanα
    ≥2
    		2
    ．
    ∴S≤2-
    		2
    ．
    当tanα=
    		2
    -1时，S取得最大值为2-
    		2
    ．    …（12分）
    （3）在“一个来回”中，OE共转了2×
    3π
    4
    =
    3π
    2
    ．
    其中点G被照到时，共转了2×
    π
    6
    =
    π
    3
    ．  …（14分）
    则“一个来回”中，点G被照到的时间为9×
    π
    3
    3π
    2
    =2    （分钟）．…（16分）
    点评：本题主要考查了解三角形在实际问题中的应用，同时考查了利用基本不等式求最值问题，属于中档题．
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    π
    5
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    4π
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    1
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    15
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