Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（其中c为非零常数，n∈N^*），a₁、a₂、a₃组成公比不为1的等比数列．
（Ⅰ） 求c的值；
（Ⅱ）记数列的前n项和为S_n，求证．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，
∵a₁，a₂，a₃成等比数列，
∴（2+c）²=2（2+3c），
解得c=0，或c=2．
当c=0时，a₁=a₂=a₃，不合题意，舍去．
故c=2．
（Ⅱ）当n≥2时，
∵a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，
∴a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c
=，
∵a₁=2，c=2，
∴a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n≥2，n∈N⁺），
当n=1时，上式也成立，
所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），
∴．
当n-1时，，
当n≥2时，由=，
得
=，
∴．
分析：（Ⅰ）由题意，知a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，由a₁，a₂，a₃成等比数列，能求出c的值．
（Ⅱ）当n≥2时，a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，…，a_n-a_n-1=（n-1）c，所以a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c=，所以，a_n=n²-n+2（n∈N⁺），．由此能够证明．
点评：本题考查不等式和数列的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．