Question

【题目】在如图所示的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，面AA1B1B和面AA1C1C都是边长为1的正方形且互相垂直，D为AA1的中点，E为BC1的中点．
（Ⅰ）证明：DE∥平面A1B1C1；
（Ⅱ）求平面C1BD和平面CBD所成的角（锐角）的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：如图，过E作EF∥BC交BC于F，

∵E为BC1的中点，∴EF为△BB1C1的中位线，则EF= ，

又D为AA1中点，∴D ，

∵四边形AA1B1B为正方形，∴EF∥DA1，且EF=DA1，

∴四边形DA1FE为平行四边形，则DE∥A1F，

∵DE平面A1B1C1，A1F平面A1B1C1，

∴DE∥平面A1B1C1；

（Ⅱ）解：∵AA1C1C是正方形，∴AC⊥AA1，

又平面AA1B1B⊥平面AA1C1C，且平面AA1B1B⊥平面AA1C1C，

∴AC⊥平面AA1B1B，则AC⊥BC．

分别以BA、AD、AC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，

则C（0，0，1），D（0， ，0），B（﹣1，0，0），C1（0，1，1），

， ， ．

设平面BCD的一个法向量为 ，

由 ，令y=2，得 ；

设平面C1BD的一个法向量为 ，

由 ，令y=2，得 ．

∴cos＜ ＞= ．

∴平面C1BD和平面CBD所成的角（锐角）的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）过E作EF∥BC交BC于F，可得EF为△BB1C1的中位线，结合已知可得EF∥DA1，且EF=DA1，则四边形DA1FE为平行四边形，得DE∥A1F，由线面平行的判定可得DE∥平面A1B1C1；（Ⅱ）由题意可得AC⊥平面AA1B1B，则AC⊥BC．分别以BA、AD、AC所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求出所用点的坐标，得到平面C1BD和平面CBD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面C1BD和平面CBD所成的角（锐角）的余弦值．
【考点精析】掌握直线与平面平行的判定是解答本题的根本，需要知道平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行．