Question

甲、乙两人破译一种密码，它们能破译的概率分别为

1

3

和

1

4

，求：
（1）恰有一人能破译的概率；
（2）至多有一人破译的概率；
（3）若要破译出的概率为不小于

65

81

，至少需要多少甲这样的人？

Answer 1

分析：（1）恰有一人能破译包括两种情况，“甲能译出，乙不能译出”，“甲不能译出，乙能译出”，分别求出概率，再相加．
（2）至多有一人破译，包括三种情况，“甲乙都不能译出”，“甲能译出，乙不能译出”，“甲不能译出，乙能译出”，分别求出概率，再相加．
（3）先设至少需要n个甲这样的人，再求出n个甲这样的人译出的概率，让这个概率大于等于

65

81

，求出n的范围，找最小的整数n即可．

解答：解：（1）设A为“甲能译出”，B为“”，则A、B互相独立，从而A与

.

B

、

.

A

与B

.

A

与

.

B

均相互独立．
“恰有一人能译出”为事件A•

.

B

+

.

A

•B，又A•

.

B

与

.

A

•B互斥，
则P(A•

.

B

+

.

A

•B)=P(A•

.

B

)+P(

.

A

•B)=P(A)•P(

.

B

)+P(

.

A

)•P(B)=

1

3

×(1-

1

4

)+(1-

1

3

)×

1

4

=

5

12

．
（2）“至多一人能译出”的事件A•

.

B

+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

，且A•

.

B

、

.

A

•B、

.

A

•

.

B

互斥，
∴P(A•

.

B

+

.

A

•B+

.

A

•

.

B

)=P(A)•P(

.

B

)+P(

.

A

)•P(B)+P(

.

A

)•P(

.

B

)=

11

12

．
（3）设至少需要n个甲这样的人，而n个甲这样的人译不出的概率为(1-

1

3

)n，
∴n个甲这样的人能译出的概率为P=1-(1-

1

3

)n，
由1-(1-

1

3

)n≥

65

81

得(

2

3

)n≤

16

81

=(

2

3

)4， ∴n≥4
∴至少需4个甲这样的人才能满足题意．

点评：本题考查了相互独立事件概率的求法，做题时要认真分析．