Question

（2008•佛山二模）已知正项等差数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a₁≠a₂，a_m、a_k、a_h都是数列{a_n}中满足a_h-a_k=a_k-a_m的任意项．
（Ⅰ）证明：m+h=2k；
（Ⅱ）证明：S_m•S_h≤S_k²；
（III）若

Sm

、

Sk

、

Sh

也成等差数列，且a₁=2，求数列{

1

Sn-S1

}(n∈N*，n≥3)的前n项和Tn＜

5

24

．

Answer 1

分析：（I）根据等差数列的通项公式，用公差d，首项a₁将a_h，a_k，a_m表示出，化简整理寻求h，k，m的关系．
（II）根据等差数列{a_n}的前n项和公式，将S_m•S_h与 S_k² 求出，Sm•Sh=

m(a1+am)

2

•

h(a1+ah)

2

=

mh

4

(a1+am)(a1+ah)，S_k2=[

(a1+ak)k

2

]2利用基本不等式，结合已知，

mh

4

≤

1

4

• (

m+h

2

)2，（a₁+a_m）（a₁+a_h） ≤[

a1+am+a1+ah

2

]2=（a₁+a_k）²合理的放缩转化，进行证明．
（III）不妨取m，n，h的一组特殊值寻求突破．取m=1，k=2，h=3．求得公差d，进而可求数列{

1

Sn-S1

}(n∈N*，n≥3)的前n项和，再用放缩法可证．

解答：解：（I）设数列{a_n}的公差为d，由题意a₁＜0，d＞0．
∵a_h-a_k=a_k-a_m，∴（h-k）d=（k-m）d，∴m+h=2k．…（2分）
（II）Sm•Sh=

m(a1+am)

2

•

h(a1+ah)

2

=

mh

4

(a1+am)(a1+ah)≤

1

4

•[

m+h

2

]2[

a1+am+a1+ah

2

]2=

1

4

(a1+ak)2k2=[

(a1+ak)k

2

]2=

S

2 k

，∴S_m•S_h≤S_k²．…（6分）
（III）取m=1，k=2，h=3，显然a₁，a₂，a₃满足a₃-a₂=a₂-a₁．…（7分）
由

Sm

、

Sk

、

Sh

也成等差数列，则

a1

+

3a1+3d

=2

2a1+d

．
两边平方得2

a1(3a1+3d)

=4a1+d，
再两边平方整理得4a₁²-4a₁d+d²=0，即（2a₁-d）₂=0，
∴d=2a₁=4．…（9分）
∴a_n=（2n-1）a，S_n=2n²，
∴

Sn

=

2

n．，显然这时数列{a_n}满足题意．                         …（10分）
∴S_n-S₁=2n²-2=2（n²-1）．
∴

1

Sn-S1

=

1

2

•

1

n2-1

=

1

4

(

1

n-1

-

1

n+1

)(n∈N*，n≥3．)…（12分）
则Tn=

1

4

(

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

)=

1

4

(

1

2

+

1

3

-

1

n

-

1

n+1

)
=

1

4

[

5

6

-

2n+1

n(n+1)

]＜

5

24

．…（14分）

点评：本题以数列为依托研究不等式问题，考查等差数列的性质、前n项公式及计算，放缩法证明不等式．要求有较强的分析解决问题的能力，具备特殊化法突破困难的意识．