Question

（本小题满分14分）已知平行四边形，，，，为的中点，把三角形沿折起至位置，使得，是线段的中点．

（1）求证：；

（2）求证：面面；

（3）求二面角的正切值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）2.

【解析】

试题分析：（1）此题将线面平行转化为线线平行问题，可取的中点，连接构造辅助线，得到，进而证明出平面；（2）此题将面面垂直问题转化为线面垂直问题，可取的中点，连接构造辅助线,借助于余弦定理，得出，即为直角三角形，由线面垂直的判定定理，证明出，根据面面垂直的判定定理得出面面；

（3）构造辅助线过作于，连接，证明出，则是二面角的平面角，计算即可求得.

试题解析： (1) 如图

证明：取的中点，连接

为中点

，且

为平行四边形边的中点

，且

，且

四边形是平行四边形

平面，平面

平面 4分

（2）取的中点，连接

，，，为的中点

为等边三角形，即折叠后也为等边三角形

，且

在中，，，

根据余弦定理，可得

在中，，，，

，即

又，所以

又

面面 10分

（3）过作于，连接

又

是二面角的平面角

在中，，，故

所以二面角的正切值为 14分

考点：1、线面平行；2、面面垂直；2、求二面角的三角函数值.