Question

已知数列{a_n}满足a_n+1=qa_n+2q-2（q为常数，|q|＜1），若a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，则a₁=

 

．

Answer 1

分析：观察已知式子，移项变形为a_n+1+2=q（a_n+2），从而得到a_n+2与a_n+1+2的关系，分a_n=-2和a_n≠-2讨论，当a_n≠-2时构造等比数列{a_n+2}，公比为q．计算可得答案．

解答：解：由已知可得，a_n+1+2=q（a_n+2），n=1，2，…，
①当a_n=-2时，显然有a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，
此时a₁=-2．
②当a_n≠-2时，{a_n+2}为等比数列，且q=

an+1+2

an+2

，（q为常数，|q|＜1），
又因为a₃，a₄，a₅，a₆∈{-18，-6，-2，6，30}，
所以a₃+2，a₄+2，a₅+2，a₆+2∈{-16，-4，0，8，32}，
因为a_n≠-2，所以a_n+2≠0，又|q|＜1，
从而a₃+2=32，a₄+2=-16，a₅+2=8，a₆+2=-4，
故有a₃=30，a₄=-18，a₅=6，a₆=-6，且q= -

1

2

，
代入a_n+1=qa_n+2q-2得

a3= - 1 2 a2-3 a2= - 1 2 a1-3

，
可得到a₂=-66，a₁=126．

点评：对数列递推式能否成功变形是解答本题的关键所在，要分类讨论思想在本体重的应用，否则容易漏解．如何对应得到a₃+2=32，a₄+2=-16，a₅+2=8，a₆+2=-4进而求出a₃=30，a₄=-18，a₅=6，a₆=-6是一个难点．