试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对
求导,判断函数的单调性,函数
递增,则在区间2个端点处取得最大值和最小值;第二问,由新定义将题目转化为
,
在(1,+∞)上恒成立,对
求导,对
的根进行讨论,判断函数的单调性,求出最大值,令最大值小于0,同理,对
求导,求最大值,需要注意如果最大值能够取到,则最大值小于0,若最大值取不到,则最大值小于等于0.
(1)当a=2时,
,则
当x∈[e,e
2]时,
,即此时函数
单调递增,
∴
的最大值为f(e
2)=4e
4+lne
2=2+4e
4,最小值为f(e)=2e
2+lne=1+2e
2. 4分
(2)若在区间(1,+∞)上,函数
是
、
的“伴随函数”,
即
<
<
,令
在(1,+∞)上恒成立,
在(1,+∞)上恒成立,
因为
①若
,由
得
当
,即
时,在(x
2,+∞)上,有
,此时函数单调递增,并且在该区间上有
,不合题意.
当x
2<x
1=1,即a≥1时,同理可知在区间(1,+∞)上,有
,不合题意.
②若a≤
,则有2a 1≤0,此时在区间(1,+∞)上,有p'(x)<0,此时函数p(x)单调递减,要使p(x)<0恒成立,只需要满足
,即
可
此时
, 9分
又
,则h(x)在(1,+∞)上为减函数,则h(x)<h(1)=
,所以
11分
即a的取值范围是
。 12分