Question

已知函数.
（1）若函数在点处的切线方程为，求的值；
（2）若，函数在区间内有唯一零点，求的取值范围；
（3）若对任意的，均有，求的取值范围．

Answer 1

（1），；（2）或；（3）.

试题分析：本题考查导数的运算，利用导数求切线方程、判断函数的单调性、求函数的最值等基础知识，考查函数思想、分类讨论思想，考查综合分析和解决问题的能力.（1）先求导，将切点的横坐标代入到导数中，得到切线的斜率，结合已知切线的斜率可求出的值，再由切点在切线上，可求出即切点的纵坐标，然后代入的解析式即可求出的值；（2）先将代入得到解析式，求导数，判断函数的单调性，因为在有唯一的零点，所以或，所以解得或；（3）属于恒成立问题，通过分析题意，可以转化为在上的最大值与最小值之差，因为，所以讨论的正负来判断的正负，当时，为单调递增函数，所以，当时，需列表判断函数的单调性和极值来决定最值的位置，这种情况中还需要讨论与1的大小.
试题解析：(1)，所以，得
又，所以，得
（2）因为所以，
当时，，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增
又，可知在区间内有唯一零点等价于
或
得或
(3)若对任意的，均有，等价于在上的最大值与最小值之差
（ⅰ）当时，在上，在上单调递增
由，得
所以
（ⅱ）当时，由得

由得或
所以，同理
当，即时，，与题设矛盾
当，即时，恒成立
当，即时，恒成立
综上所述，的取值范围为.