Question

【题目】如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形，侧面BB1C1C是矩形，M，N分别为BC，B1C1的中点，P为AM上一点，过B1C1和P的平面交AB于E，交AC于F.

（1）证明：AA1∥MN，且平面A1AMN⊥EB1C1F；

（2）设O为△A1B1C1的中心，若AO∥平面EB1C1F，且AO=AB，求直线B1E与平面A1AMN所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）由分别为，的中点，，根据条件可得，可证，要证平面平面，只需证明平面即可；

（2）连接，先求证四边形是平行四边形，根据几何关系求得，在截取，由（1）平面，可得为与平面所成角，即可求得答案.

（1）分别为，的中点，

又

在中，为中点，则

又侧面为矩形，

由，平面

平面

又，且平面，平面，

平面

又平面，且平面平面

又平面

平面

平面

平面平面

（2）连接

平面，平面平面

根据三棱柱上下底面平行，

其面平面，面平面

故：四边形是平行四边形

设边长是()

可得：，

为的中心，且边长为

故：

解得：

在截取，故

且

四边形是平行四边形，

由（1）平面

故为与平面所成角

在，根据勾股定理可得：

直线与平面所成角的正弦值：.