Question

【题目】已知经过圆上点的切线方程是.

（1）类比上述性质，直接写出经过椭圆上一点的切线方程；

（2）已知椭圆，P为直线上的动点，过P作椭圆E的两条切线，切点分别为AB，

①求证：直线AB过定点.

②当点P到直线AB的距离为时，求三角形PAB的外接圆方程.

Answer 1

【答案】（1）.（2）①证明见解析；②，.

【解析】

（1）直接类比得到答案.

（2）①设切点为，点，根据（1）得到切线方程，代入点，化简得到答案.

②根据点到直线距离得到，得到切线方程，联立方程组得到交点，设圆一般方程，代入点解得答案.

（1）类比上述性质知：切线方程为.

（2）①设切点为，点，

由（1）的结论的AP直线方程：，BP直线方程：，

通过点，∴有， ∴A，B满足方程：，

∴直线AB恒过点：，即直线AB恒过点.

②已知点到直线AB的距离为. ∴，

故，， ∴.

当时，点，直线AB的方程为：， ，

解得或，故点.

设的外接圆方程为：，代入得，

解得,所以的外接圆方程为，

即的外接圆方程为： ，

当时，由对称性可知，三角形PAB的外接圆方程为：.