Question

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n-n+1（n∈N⁺）．
（1）证明数列{a_n-n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（2）数列{b_n}满足：bn=

n

2an-2n

（n∈N⁺），求数列{b_n}的前n项和S_n；
（3）比较S_n与

3n

2n+1

的大小．

Answer 1

（1）证法一：由a_n+1=2a_n-n+1，
得a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则an-n=1×2n-1，
∴an=2n-1+n．…（4分）
证法二：

an+1-(n+1)

an-n

=

2an-n+1-(n+1)

an-n

=

2an-2n

an-n

=2，
又a₁=2，则a₁-1=1，
∴数列{a_n-n}是以a₁-1=1为首项，且公比为2的等比数列，…（3分）
则an-n=1×2n-1，∴an=2n-1+n．…（4分）
（2）∵bn=

n

2an-2n

，
∴bn=

n

2an-2n

=

n

2n

．…（5分）
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=

1

2

+2•(

1

2

)2+…+n•(

1

2

)n，…①
∴

1

2

Sn=(

1

2

)2+2•(

1

2

)3+…+（n-1）•(

1

2

)n+n•(

1

2

)n+1，…②
由①-②，得

1

2

Sn=

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)2-n•(

1

2

)n+1
=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-n•(

1

2

)n+1
=1-(n+2)(

1

2

)n+1，…（8分）
∴Sn=2-(n+2)•(

1

2

)n．…（9分）
（3）Sn-

3n

2n+1

=2-（n+2）•(

1

2

)n-

3n

2n+1

=

n+2

2n+1

-(n+2)•(

1

2

)n
=

(n+2)•[2n-(2n+1)]

(2n+1)•2n

，
当n=1时，Sn＜

3n

2n+1

；
n=2时，Sn＜

3n

2n+1

；
n≥3时，2n=

C

0n

+

C

1n

+…+

C

n-1n

+

C

nn

＞

C

0n

+

C

1n

+

C

n-1n

=2n+1，
∴Sn-

3n

2n+1

＞0，
∴Sn＞

3n

2n+1

．
综上：n=1或2时，Sn＜

3n

2n+1

；
n≥3时，Sn＞

3n

2n+1

．…（12分）