Question

已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 
（1）若角A，B，C成等差数列，且sinAsinC=

2

2

，求tanAtanC的值； 
（2）若△ABC的三边长a，b，c是某个等差数列中的连续三项，且∠A≥120°，试用边a表示公差d的取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,余弦定理

专题：三角函数的求值,解三角形

分析：（1）利用三角函数的恒等变换求出结果．
（2）利用余弦定理及等差中项求出相关的关系式，进一步求出结果．

解答： 解：（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c． 若角A，B，C成等差数列，
则：A+C=120°，
则：tan（A+C）=

tanA+tanC

1-tanA•tanC

，
整理得：

3

tanAtanC-

3

=tanA+tanC=

sinA

cosA

+

sinC

cosC

．
所以：

3

tanAtanC-

3

=

sinAcosC+cosAsinC

cosAcosC

=

sinAcosC+cosAsinC

sinA tanA • sinC tanC

，

2

tanAtanC-

2

=tanAtanC．
所以：tanAtanC=2+

2

，
（2）△ABC的三边长a，b，c是某个等差数列中的连续三项，
设b=a+d，c=a+2d，
根据∠A≥120°，
则：

(a+d)2+(a+2d)2-a2

2(a+d)(a+2d)

≤-

1

2

，
则：（2a+7d）（a+d）≤0，
解得：-a≤d≤-

2

7

a．

点评：本题考查的知识要点：三角关系式的恒等变换，余弦定理的应用，等差中项的应用及相关的运算问题，属于基础题型．