Question

【题目】已知函数f（x）=lg（3+x）﹣lg（3﹣x）
（1）求f（x）的定义域；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明；
（3）若f（a）=4，求f（﹣a）的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数f（x）=lg（3+x）﹣lg（3﹣x）

其定义域满足： ，解得：﹣3＜x＜3．

故得f（x）的定义域数为{x|﹣3＜x＜3}

（2）解：由（1）可得f（x）的定义域数为{x|﹣3＜x＜3}．设﹣3＜x1＜x2＜3，

则f（x1）﹣f（x2）=lg（3+x1）﹣lg（3﹣x1）﹣lg（3+x2）+lg（3﹣x2）=lg =lg

因为9+3（x1﹣x2）﹣x1x2＞9+（x2﹣x1）﹣x1x2＜0，

∴ ＜1，

即f（x1）﹣f（x2）＜0，所以f（x1）＜f（x2），即f（x）是（﹣3，3）上的增函数

（3）解：∵函数的定义域为（﹣3，3）．

∴定义域关于原点对称，

∵f（﹣x）=lg（3﹣x）+lg（3+x）=f（x），

∴函数f（x）是偶函数．

∴f（a）=4，则f（﹣a）=f（a）=4

【解析】（1）根据对数函数的真数要大于0列不等式组求解定义域．（2）利用定义证明其单调性．（3）判断函数的奇偶性，f（a）=4，求解f（﹣a）的值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解函数的定义域及其求法(求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数;②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数;③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合;④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1,零（负）指数幂的底数不能为零)，还要掌握函数的奇偶性(偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称)的相关知识才是答题的关键．