Question

（1）（选修4-4坐标系与参数方程）
已知直线的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，则极点到该直线的距离是

2

2

．
（2）（选修4-5 不等式选讲）
已知lga+lgb=0，则满足不等式

a

a2+1

+

b

b2+1

≤λ的实数λ的范围是

[1，+∞）

．
（3）（选修4-1 几何证明选讲）
如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，点C在圆O′上且不与点A，B重合，则∠ACB=

60°

．

Answer 1

分析：（1）把直线、曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求出极点到该直线的距离．
（2）由条件可得ab=1，且a、b都为正数，利用基本不等式求出

a

a2+1

+

b

b2+1

的最大值，从而得到实数λ的范围．
（3）连接OO′，AO′，B0′，设圆的半径为r，根据切线的性质可得AO′⊥AO，BO′⊥BO，由两圆相外切可得，OO′=2r，AO′=BO′=r，从而有∠AOO′=∠BOO′=30°，∠AO′B=2×60°=120°，由圆周角定理可得∠ACB=

1

2

∠AO′B的值

解答：解：（1）直线的极坐标方程为ρsin(θ+

π

4

)=

2

2

，
即

2

2

ρ•cosθ+

2

2

ρ•sinθ=

2

2

，化为直角坐标为 x+y=1．
故极点到该直线的距离为

|0+0-1|

2

=

2

2

．
故答案为

2

2

．
（2）∵lga+lgb=0，∴ab=1，且a、b都为正数．
由于

a

a2+1

≤

a

2a

=

1

2

，当且仅当a=1时，等号成立．同理可得

b

b2+1

≤1，
∴

a

a2+1

+

b

b2+1

≤1．
不等式

a

a2+1

+

b

b2+1

≤λ 的实数λ的范围是 λ≥1，
故答案为[1，+∞）．
（3）解：连接OO′，AO′，B0′，设圆的半径为r
根据切线的性质可得AO′⊥AO，BO′⊥BO
由两圆相外切可得，OO′=2r，AO′=BO′=r
∴∠AOO′=∠BOO′=30°，∠AO′B=2×60°=120°
由圆周角定理可得，∠ACB=

1

2

∠AO′B=60°
故答案为 60°．

点评：本题主要考查了极坐标方程化为直角坐标方程的方法，点到该直线的距离公式，基本不等式的应用，圆的切线的性质、两圆相外切的性质、圆周角定理的综合应用，属于基础题．