Question

若直线l：y+1=k（x-2）被圆C：x²+y²-2x-24=0截得的弦AB最短，则直线AB的方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：观察直线方程发现该直线恒过（2，-1），且根据此点到圆心的距离小于圆的半径得到此点在圆内，要使圆C截得的弦AB最短，故与AB垂直的直径必然过此点，则求出此直径所在直线的方程，根据两直线垂直得到两条直线的斜率乘积为-1，即可求出k得到直线AB的方程．
解答：解：把圆C：x²+y²-2x-24=0化简得：（x-1）²+y²=5²，
则圆心坐标为（1，0），r=5，
由直线l：y+1=k（x-2）可知：直线l过（2，-1）；
∵此点到圆心的距离d==＜5，即此点在圆内，
∵圆C截得的弦AB最短，∴与AB垂直的直径必然过此点，
设这条直径所在直线的解析式为l₁：y=mx+b，
把（2，-1）和（1，0）代入求得y=-x+1，
又直线l₁和直线AB垂直，两条直线的斜率乘积为-1，
所以得-k=-1，则k=1，
则直线AB的方程为y=x-3，即x-y-3=0．
故答案为：x-y-3=0
点评：此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有：恒过定点的直线方程，圆的标准方程，直线的点斜式方程，以及两直线垂直时斜率满足的关系，其中根据题意得到与AB垂直的直径必然过（2，-1）是解本题的关键．