Question

【题目】已知函数 （a≠0）．
（1）已知函数f（x）在点（0，1）处的斜率为1，求a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若a＞0，g（x）=x2emx ， 且对任意的x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，故f′（0）= =1，解得：a=1
（2）解：由题意可知，函数f（x）的定义域为R，

f′（x）= ，

当a＞0时，x∈（﹣1，1），f′（x）＞0，f（x）为增函数，

x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞），f′（x）＜0，f（x）为减函数；

当a＜0时，x∈（﹣1，1），f′（x）＜0，f（x）为减函数，

x∈（﹣∞，﹣1），（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）为增函数

（3）解：“对任意的x1，x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”

等价于“当a＞0时，对任意的x1，x2∈[0，2]，fmin（x）≥gmax（x）成立”，

当a＞0时，由（2）可知，函数f（x）在[0，1]上单调递增，在[1，2]上单调递减，

而f（0）=1，f（2）= +1＞1，所以f（x）的最小值为f（0）=1，

g（x）的导数g′（x）=2xemx+x2emxm=（mx2+2x）emx，

当m=0时，g（x）=x2，x∈[0，2]时，gmax（x）=g（2）=4，显然不满足gmax（x）≤1，

当m≠0时，令g′（x）=0得，x1=0，x2=﹣ ，

①当﹣ ≥2，即﹣1≤m≤0时，在[0，2]上g′（x）≥0，所以g（x）在[0，2]单调递增，

所以gmax（x）=g（2）=4e2m，只需4e2m≤1，得m≤﹣ln2，所以﹣1≤m≤﹣ln2；

②当0＜﹣ ＜2，即m＜﹣1时，在[0，﹣ ]，g′（x）≥0，g（x）单调递增，

在[﹣ ，2]，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以gmax（x）=g（﹣ ）= ，

只需 ≤1，得m≤﹣ ，所以m＜﹣1；

③当﹣ ＜0，即m＞0时，显然在[0，2]上g′（x）≥0，g（x）单调递增，

gmax（x）=g（2）=4e2m，4e2m≤1不成立．

综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣ln2]

【解析】（1）求出函数的导数，计算f′（0）=1，求出a的值即可；（2）求出f（x）的导数，并分解因式，讨论a＞0，a＜0，由导数大于0可得增区间，由导数小于0，得减区间；（3）“对任意的x1 ， x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2）恒成立”等价于“当a＞0时，对任意的x1 ， x2∈[0，2]，fmin（x）≥gmax（x）成立”，求得f（x）在[0，2]上的最小值，再求g（x）的导数，对m讨论，结合单调性，求得最大值，解不等式即可得到．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性和函数的极值与导数是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．