Question

点P为曲线C：y=

1

4

x²-2上的动点，l为C上在点P处的切线，则原点O到l距离的最小值是（　　）

• A．

  2

• B．2
• C．

  3

• D．3

Answer 1

分析：利用导数的几何意义求切线方程，利用点到直线的距离求d，然后根据d的式子进行求最小值即可．

解答：解：设P（a，b），
∵y=

1

4

x²-2上，
∴b=

1

4

a²-2，
且y'=f'（x）=

1

2

x，
即在点P的切线斜率k=f'（a）=

1

2

a，
对应的切线方程为y-b=

1

2

a（x-a），
即y-（

1

4

a²-2）=

1

2

a（x-a），
整理得

1

2

ax-y+

1

4

a²-2-

1

2

a2=0
即

1

2

ax-y-

1

4

a²-2=0，
∴原点O到l距离的d=

| 1 4 a2+2|

1 4 a2+1

=

1 4 a2+1+1

1 4 a2+1

=

1 4 a2+1

+

1

1 4 a2+1

≥2

( 1 4 a2+1) ? 1 1 4 a2+1

=2，
当且仅当

1 4 a2+1

=

1

1 4 a2+1

，即

1

4

a2+1=1，
解得a=0时取等号，
∴d≥2．
∴原点O到l距离的最小值是2．
故选B．

点评：本题主要考查利用导数的几何意义求切线方程，利用点到直线的距离公式求距离，结合基本不等式求函数的最值，综合性较强，考查学生的运算能力．