Question

如图，在四棱锥S-ABCD中，SB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，点E为SB的中点．
（Ⅰ）求证：AB⊥SC；
（Ⅱ）求证：SD∥平面AEC．

Answer 1

（I）证明：∵SB⊥底面ABCD，AB?底面ABCD，
∴SB⊥AB，
又由底面ABCD为矩形，
∴AB⊥BC
又∵BC∩SB=B，BC?平面SBC，SB?平面SBC，
∴AB⊥平面SBC，
∴AB⊥SC（4分）
（II）证明：连接BD∩AC=O，连接OE．（5分）

∵在△SBD中，E为SB中点
∴OE∥SD（7分）
∵OE?平面AEC，SD?平面AEC
∴SD∥平面AEC．（8分）
分析：（I）由已知中SB⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，我们易得SB⊥AB，AB⊥BC，进而由线面垂直的判定定理得到AB⊥平面SBC，再由线面垂直的性质，得到AB⊥SC；
（Ⅱ）令BD∩AC=O，连接OE．结合已知中E为SB的中点，矩形的性质，根据三角形中位线定理，可得OE∥SD，再由线面平行的判定定理，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质，熟练掌握空间直线与平面平行的判定定理，直线与平面垂直的判定定理及性质是解答本题的关键．