Question

17．如图所示，S是△ABC所在平面外一点，且SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB，SB=BC，E是SC的中点，DE⊥SC交AC于D．求二面角E-BD-C的大小．

Answer 1

分析 先证明二面角的棱BD垂直于平面SAC，从而得出了二面角的平面角为∠EDC，故求二面角的大小转化成了求∠EDC的大小

解答 证明：∵SB=BC，E是SC的中点，
∴BE⊥SC，
∵DE⊥SC交AC于D，BE∩DE=E，
∴SC⊥面BDE．
∵BD?平面BDE，∴SC⊥BD，
∵SA⊥平面ABC，BD?平面ABC，∴SA⊥BD，
∵SA∩SC=S，∴BD⊥平面SAC，
∴∠EDC是二面角E-BD-C的平面角，设SA=a，则SB=BC=$\sqrt{2}$a，
∵BC⊥AB，SA⊥平面ABC，
∴BC⊥SB．∴SC=2a，∠SCD=30°．
∴∠EDC=60°，
即二面角E-BD-C的大小是60°．

点评 本题主要考查二面角的求解，根据二面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．